Kvíz

[tomasjedno]

Lebo okamžitá sila na lane závisí aj od rýchlosti zmeny skracovania (alebo predlžovania) lana.

To je správná připomínka, proto zvolíme rychlost navíjení limitně blízkou nule, abychom tím nemuseli výpočet komplikovat.

[tomasjedno]

jak jsi integrál dál počítal, až do kroku, kde vypadne, že obvodová rychlost je v 2x

Jak jsem to dál integroval? Jak jinak než

[bdn]

Díky za vysvětlení... Mimo těch integračních rovnic, tady to je pěkně vysvětleno na analogii s krasobruslařkou. Tím, že stáhne paže k sobě, tak se změní její moment setrvačnosti a úhlová rychlost se zvedne. Pokud naopak ruce roztáhne, tak úhlová rychlost klesne. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/11-3-conservation-of-angular-momentum
Další příklad, dítě na "pasivním kolotoči". Pokud se "přitáhne" směrem dovnitř. Otáčky kolotoče stoupnou. https://openstax.org/apps/archive/20220815.182343/resources/3d98d27aa018607feefb4900c372e98fe24ffb5b

[Kremik]

Skus si to na otáčející židli. Roztoč se a pak schovej nohy pod sedátko. Ale bacha, nespadni

[Cust]

no, myslím, že hlavní vtip je v tom, že se mění obvodová rychlost
hezká úloha, Tomáši Jedno, hoď nějakou úlohu na Vánoce. Já už 2 týdny jedu v práci od rána do noci (vlastně rána)!

[Ruprecht]

Plocha průvodiče planety se zmenší na 1/4 => úhlová rychlost 4x větší.
Omega na druhou (16), ale na polovičním poloměru => síla 8x vzroste

[tomasjedno]

Plocha průvodiče planety se zmenší na 1/4

To jsem nějak nepobral, jak a kdy a proč.

Druhý Keplerův zákon hovoří o konstantní ploše průvodiče.
Při situaci na obrázku je planeta v aféliu (levý okraj) vzdálena od Slunce 2x více než v perihéliu (pravý okraj), tudíž z tohoto zákona plyne, že v perihéliu má 2x vyšší dráhovou rychlost a 4x vyšší úhlovou rychlost než v aféliu.
Zajímavé na tom je, že poměr dostředivé (gravitační) síly mezi těmito dvěma úvratěmi je 1:4 (gravitační zákon, 1/r²), kdežto poměr odstředivých sil (tj. setrvačných) je 1:8 (v²/r). Proto po průchodu perihéliem letí zase pryč (převáží odstředivá síla), zato po průchodu aféliem letí zase ke Slunci (převáží gravitační síla).

[Ruprecht]

To jsem nějak nepobral, jak a kdy a proč.

Šaks to zadal, 10m na 5m. Tož když se lano zkrátí na polovinu, plocha průvodičem opisovaného kruhu je čtvrtinová. Plochy za stejný čas se musí rovnat, tak se to musí vrtět 4x rychlejc Zapomeň na výseče a uvažuj v celých kruzích Máš pevný špagát (pro matematiky r1=konst., r2=konst.)

[tomasjedno]

Aha, rozumím. Ale přímá aplikace 2. Keplerova zákona na tento případ není tak úplně samozřejmá - Kepler neřeší přesun mezi dvěma stabilními kruhovými oběžnými drahami. Zvlášť když si pak uvědomíš, že dráhová rychlost pro stabilní kruhovou oběžnou dráhu planety je ~ 1/√r

[Ruprecht]

Tak jestli to nehřeje nebo nesvítí nebo toho neubývá (nebo to nemá být nějaké perpetuum mobile), tak energie přes ty plochy a čas musí být stejné bez ohledu na kruhovost nebo elipsoidnost nebo jinou šišatost. A ten poloměr neřeší ani odmocnina, ani gravitace ale dostatečně pevný špagát

[tomasjedno]

Mohl bys definovat, co je to ta energie přes ty plochy a čas? Nějak v těch plochách ne a ne najít nějakou energii

[Kremik]

Mi tu neštymuje jiná věc. Obíhající bod nemá ani páru zda mu lano zkracuje naviják, nebo se navíjí na nějakou pevnou tyč. V obou případech by tedy úloha měla mít stejné řešení.

[tomasjedno]

Háček je v tom, že když se to lano navíjí na tyč, tak na ni působí točivým momentem, čímž pádem přestane platit, že je konstantní moment hybnosti, a všechno je rázem jinak.

Obíhající bod to pozná podle toho, že průvodič nemíří do středu tyče, ale na její obvod. A pokud by byl vybaven inteligencí a vzděláním v oboru klasické mechaniky, tak by to poznal i podle toho, že se mu nemění obvodová rychlost

[Kremik]

No jo, jak prosté. Takže navíjení ho poněkud brzdí... OK, dík.

[Lojza1]

Než jsem si vlákno prošel, zkusil jsem si najít odvození jen podle toho, co zná člověk z matematiky základní školy a ano, potřebuje i vzoreček ze středoškolské fyziky. Ale obejde se bez vyšší matematiky. Můj myšlenkový experiment byl takový, že pokusná osoba rotuje pokusným objektem na špagátu. V nějakém okamžiku špagát pustí a nechá ho v dlani volně odvíjet ze špulky. V následném okamžiku špagát zachytí, tj. škubne s ním a nechá objekt rotovat v jeho nové vzdálenosti. Výsledkem experimentu je geometrická konstrukce, která objasňuje změnu velikosti rychlosti objektu škubnutím za špagát. Z toho pak vyplývá změna odstředivé síly v závislosti na změně délky špagátu. Obrázek je odfláknutý, je jedna v noci a už to nechci opravovat a znovu skenovat. Tak omluvte gramatický "překlep" a nedůslednost v absolutních hodnotách vektorů. Šlo mi o podstatu té ne úplně intuitivní úlohy.
Jasně, pokud se dosadí naopak zkrácení špagátu na polovinu (což se musí řídit shodným vzorečkem), vyjde osminásobná síla.
Tomasjedno shodný výsledek ukázal tak, jak by se to ukázalo standardním aparátem v posluchárně studentům, kteří ten aparát už znají, mají si ho procvičovat, ještě ho nezapomněli. Před několika stoletími takový aparát ještě neexistoval a o to zajímavější byly způsoby, jak se povedlo tu kterou úlohu řešit. Viz třeba právě Kepler.
Zajímavé je, že zde se přelévání energie soustředí do škubnutí, když už je délka špagátu finální. Protože ono na tom ve výsledku nesejde a popis se tím stane triviálním.
Jo a mimochodem, kdo se po základce ještě trochu zabýval fyzikou, zná zákon zachování momentu hybnosti.
https://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1ko ... u_hybnosti
Ten to, co tady všelijak odvozujeme, říká přímo a explicitně. Tedy že součin poloměru a rychlosti rotačního pohybu se v této úloze nezmění. Myslím, že v kurzu fyziky u tohoto zákona padne zmínka o rotujících baletkách pokaždé.

Chytrolínské knížky plné chyb a nesmyslů mě deprimují. A stává se to i skriptům. Aspoň že to autora té zmíněné knížky v tomto případě zajímá. Ani to není pravidlem.