Diskuzní fórum Elektro Bastlírny

Zdravim, věděl by si někdo rady s tímto grafem? Potřebuji vypočítat nejkratší vzdálenost dvou bodů na zemském povrchu.

Nejsem žádnej geodet, takže se můžu šeredně plést, v tom případě uvítám každou korekci.
Nejkratší vzdáleností dvou bodů na kouli je dráha, kterou mezi nimi vytváří hlavní kružnice; to je taková, která vznikne jako průsečík koule s rovinou, přitom tu rovinu určují ty dva body a střed koule. Vzdálenost je součin středového úhlu a poloměru koule.
Ten graf je tedy zeměkoule, uhlové míry jsou interpretovány jako rovinná soustava. Pohled je jakoby z družice Thor (poloha 0°), a ty plné čáry jsou hlavní kružnice od průsečíků rovin, procházejících středem země, družicí Thor, a různě skloněných oproti rovině rovníku. Ta střední vodorovná čára je průmět rovníku, a ty další kopečky a důlky jsou od rovin postupně pootočených o 5° až do 85°, pro 90° to jsou všechny rovné plné čáry.
Čárkované čáry jsou průsečíky koule s kuželem, kterého vrchol je ve středu koule, osa prochází družicí Thor a vrcholový úhel je 0° (bod uprostřed) až 180° (čára 10) a dál na odvrácené straně od 180°po 360° (čára 20=bod).

Pro určení vzdálenosti bude dobré nedívat se z družice Thor, ale z místa, kde oba body budou ležet na stejné kuželosečce. Potom z grafu hned vyplyne velikost středového úhlu při známém poloměru země je zbytek malina.

To vysvětlení významu čar je geniální. To by mě nenapadlo. Asi to tak bude.
To odečtení vzdálenosti bych ale udělal jinak. Jde o to, že posouvat doleva a doprava můžeme, ale nahoru a dolů ne. To by se nám vzdálenost změnila.
Takže bych to udělal spíš takhle:

Nejdřív bych si to otočil podle osy Thor-střed Země tak, aby jeden bod byl na rovníku. To jsou ty červené křížky. Oba křížky jsem posunul ve směru čárkovaných čar o asi 2/5 rozestupu plných čar. To odpovídá pootočení asi 2 stupně.

Potom bych to celé posunul doleva, aby se jeden bod posunul na Thor. To jsou ty zelené křížky.

Nyní již odečtu vzdálenost podle toho, na které čárkované čáře je ten druhý bod. A to je asi 95 grad. Vzdálenost tedy bude 95/400 obvodu.

Díky moc!
Můj názor na věc je, že plné čáry jsou hlavní kružnice, tedy ty se středem ve středu koule, jejich rovina se otáčí od 0°(rovník) do 90°(poledník). Čárkované jsou kružnice konstantní vzdálenosti se středem v průsečíku jednoho poledníku a rovníku, který ale leží na povrchu. Práce potom probíhá tak, že se z mapy světa přenesou souřadnice do grafu, potom se provede posun, jak popisuje piitr a vzdálenosti odpovída počet přůsečíků hlavní kružnice, na které leží body, s kružnicemi konstantní vzdálenosti, které jsou cejchovány pro Zem, v tisících km (čísla od 1 do 10). Pokud se nepletu, tak vzdálenost pro zadané body je 9500km.

Aha, to je pravda. To je jednodušší. Na ten můj první krok se můžu vykašlat. Prostě to posunu doleva, až budou oba body na stejné hlavní kružnici (plné čáře). A nemusím ten jeden posouvat do středu.

Přitom by to vždycky mělo jít. To si ale zatím neumím moc představit.

Ono to hned vypadalo na nějakou dělostřeleckou úlohu, a teď se to potvrdilo, mezikontinentální střela voda-zem!

Když už se nejdřív zjišťují souřadnice těch dvou bodů (69°W,24°N; 16°E,1°S), tak bych spočítal jejich poledníkové a rovnoběžkové rozdíly (85°,25°), a poněvadž to jsou odvěsny α, β pravoúhlého sférického trojúhelníka, pro přeponu γ platí:
cos γ = cos α * cos B
a tak γ = 85,5°, neboli 1,49 v obloukové míře. A jestli je zem koule s poloměrem 6367 km, je ta hledaná vzdálenost 1,49*6367 = 9487 km.

Bernard píše:... tak bych spočítal jejich poledníkové a rovnoběžkové rozdíly (85°,25°), a poněvadž to jsou odvěsny α, β pravoúhlého sférického trojúhelníka ...

Já tyhle věci moc neznám, ale bál bych se, že to takhle nepůjde. Chyba je asi v tom, že nejde o trojúhelník, protože rovnoběžka (kromě rovníku) není přímka.

Pokud by se měl spočítat úhel gama mezi body se zeměpisnými délkami d1 a d2 a šířkami s1 a s2, vychází mi tenhle vzorec:

cos(gama) = cos(s1)*cos(s2)*cos(d1-d2) + sin(s1)*sin(s2)

Pro dané body to vychází 85 stupňů, 50 minut a 30,59 vteřin.

piitr píše:..... bál bych se, že to takhle nepůjde. .....

Aha, asi jsem se splet v tom, že mezi rovnoběžkou a poledníkem sice pravý úhel je, ale protože rovnoběžka (mimo rovníku) není hlavní kružnice, nejde o "pravý" pravoúhlý sférický tojúhelník. V tom příkladu, co dal Zmije, je jeden bod téměř na rovníku, tak to docela vyšlo - náhodou. Máš postřeh!

No jo, to je pravda, to je tím, že je skoro na rovníku.

Jinak, ten vzorec, co jsem odvodil, by měl být dobře. Našel jsem to teď tady: http://vyukaap.vscht.cz/HTML/kap3.html (příklad 3A.3)

Zřejmě je to dobře. I kdyby se tím řídil Zdeněk Svěrák při dobytí severního pólu, uspěl by. Na cestě z bodu 0°z.d./85°z.š. do bodu 180°z.d./85°z.š., cestou na sever a najednou na jih by přešel kopeček 10°, přesně podle toho vzorce. Musím si ho někam zapsat.

Je to pro kv spojení, ale ty body jsem střelil od boku navíc na diagram, až potom jsem to zpětně dal do mapy Můžeme tomu třeba říkat spojení Afrika - Bermudy...
Ještě jednou dík.

Jinak, možná je jednodušší si ho odvodit. Já na to šel takhle:
Mám dva body (d1,s1) a (d2,s2). Písmenkem d označuju délku, s šířku.
Otočím podle osy z (severní pól-jižní pól), abych měl první bod na nultém poledníku.
Pak mám body (0,s1) a (d2-d1,s2).
Nyní otočím body tak, aby první bod byl na nultém poledníku a na rovníku.
Pak mě zajímá poloha druhého bodu.
Takže to předpokládá sklonění o s2 podle osy y.
To se dobře udělá v kartézských souřadnicích:
x = cos(d)*cos(s)
y = sin(d)*cos(s)
z = sin(s)
Dosadím druhý bod (d2-d1,s2):
x = cos(d2-d1)*cos(s2)
y = sin(d2-d1)*cos(s2)
z = sin(s2)
Otočení podle osy y o úhel s1 udělám násobením maticí:

Souřadnice x výsledného součinu tedy je:
x' = cos(s1)*cos(s2)*cos(d2-d1) + sin(s1)*sin(s2)
A to je přitom rovnou ten cos(vzdálenosti).
Jen je třeba si to představit v prostoru.

piitr píše:...Jen je třeba si to představit v prostoru.

Hlavně je třeba si to správně představit. Také jsem udělal d2-d1 a s2-s1 a tak dostal první bod na rovník a nultý poledník, ovšem ta představa byla příliš karteziánská. Ale to je můj cíl, šťourat i do věcí, kterým moc nerozumím, abych je nakonec (snad) pochopil.