Ekvivalentní permitivita složeného dielektrika

[Zmije]

Zdravim, potřeboval jsem určit náhradní permitivitu DPS, která má jádro složené ze tří částí (prepreg - jádro - prepreg), abych mohl zadat údaj do programu, který počítá že mezi dvěma měděnými foliemi je pouze jeden druh dielektrika. Odvození celkem jednoduché, ale když už jsem se s tím patlal, tak si to tady uložím pro příště / někoho dalšího

Kód: Vybrat vše

Cu  --------------- 
εr1 /////////////// h1
εr2 XXXXXXXXXXXXXXX h2
εr3 \\\\\\\\\\\\\\\ h3
Cu  ---------------

Na situaci by nemělo nic změnit, když se mezi jednotlivé typy dielektrik vloží tenká elektroda. Vlastně tenká ani být nemusí, stejně se nezapočítá mezi tloušťku dielektrika. Tím vznikne sériové řazení tří kondenzátoru, které mají stejnou plochu elektrod, ale rozdílnou výšku dielektrika a permitivitu.
Kapacita kondenzátorů je
C = ε0*εr*S/h (1)
Pro kapacitu sériově řazených kondenzátorů platí obdobné vzorce jako pro paralelní řazení rezistorů - buď obecný vzorec se sčítáním převrácených hodnot nebo upravený pro konkrétní situci.
Pro tři je to
C = C1*C2*C3/(C1*C2 + C1*C3 + C2*C3) (2)
Teď už stačí na obě strany (2) dosadit vzorec (1) a upravovat, krátit, upravovat... Plocha S a ε0 vypadnou protože jsou na obou stranách stejné.

A výsledek je
εekv = εr1*εr2*εr3*(h1 + h2 + h3)/(εr2*εr3*h1 + εr1*εr3*h2 + εr1*εr2*h3) (3)

PS: Vzorec pro dvě dielektrika lze odvodit stejně jen se vychází z řazení dvou kapacit
C=C1*C2/(C1+C2) (4)
Nebo si lze zjednodušit práci dosazením neutrálních (z hlediska operací sčítání nebo násobení) prvků za εr3 a h3 do (3), tj. εr3=1, h3=0
Z fyzikálního hlediska je to vzduchový kondenzátor s nulovou vzdáleností elektrod, po dosazení do (1) je kapacita -> ∞.
Když se tato kapacita dosadí do (2), jedná se o výpočet limity (2) pro C3 -> ∞, vyjde opět (4). To je zkouška, že je to dobře.

[Lojza1]

Odvození je triviální, ale je založeno na chybném zjednodušení laminátu s trojrozměrnou skelnou rohoží do jednorozměrného popisu. Jde-li se o skelný laminát. Pokud by například byla permitivita použité skloviny mnohonásobně vyšší, než epoxidu, mohl by se výsledek zjednodušeného 1D popisu podstatně lišit, protože vlákna v rohoži přecházejí mezi stěnami tam a zpět a tím by je efektivně přibližovala. Ale protože tomu až tak moc není a materiálové konstanty stejně přesně neznáš, tak si to raději změř, pokud to chceš přesně. Jinak si třeba spočítej vážený průměr permitivit materiálů podle jejich zastoupení v desce a ten použij. Přesně to beztak nespočítáš. 3D realita je blíže tomu průměru, než 1D vrstvení. Aspoň mi to tak teď připadá a ono to tak bude.

[ransom]

Nebylo by opravdu nejjistější vzít prostě čtverečnou stopu oboustranného materiálu, změřit kapacitu, a permitivitu spočíst z ní (při znalosti plochy a tloušťky)??

[Lojza1]

ransom: Při znalosti převodu stop na metry. Jednodušší je vzít čtvereční metr materiálu.

[tomasjedno]

No on se čtvereční metr někdy dost blbě shání

[ransom]

Čtverečná stopa je nadsázka pocházející od Karla Čapka.
Dobře tedy, ať je po vašem. 0,01m².
(To je 1dm², základní míra pro kalkulaci ceny DPS u českých výrobců. Proč zrovna dm², to nevím. Ale když můžou mrakopravci používat hektopascal...)

[Lojza1]

Dá se pospojovat z odřezků. Třeba ze stovky těch decimetrových, ať se to snadno počítá. Ale aby ta ransomova myšlenka nezapadla. Tak ano, je to správný postup. Změřit kapacitu jednotky plochy a spočítat z ní efektivní permitivitu. Z té se pak v tom programu, co má Zmije, snadno a poměrně přesně spočítá kapacita na jednotku plochy.

[ransom]

Samozřejmě, že je to správný postup. Jinak bych to sem přeci nepsal, ne?
Podle mého je pro dostatečně přesné určení permitivity vyhovující už ten čtverečný decimetr. Plus minus. Vždyť je jedno, z jaké plochy to budu přepočítávat. Vždycky se bude kapacita dělit skutečnou plochou.

[Lojza1]

Ransom: Takové zjednodušení metody určení permitivity klade nároky na intelekt. Nejsem si jistý, jestli jej zde lze doporučit.

[ransom]

Aha. To mě nenapadlo.
No ale však já taky nejsem žádnej lumen. Tak-tak jsem kdysi odmaturoval.

[Lojza1]

Je zjevné, že jsem to nemyslel vážně a už vůbec ne osobně. Jen mi v tomto vlákně přišlo rozumné nic nekomplikovat.

[ok1hga]

. . . ale když už jsem se s tím patlal, tak si to tady uložím pro příště / někoho dalšího

[Zmije]

Zdá se, že jsem podcenil zdejší publikum

1. já tu desku zatím v ruce nemám, musel bych jí objednat kvuli změření a to může v lepším případě trvat týden a zadarmo to není

2. ta deska má 6 vrstev mědi, a tento sendvič je jako na potvoru uprostřed.
Z toho plynou dva nepříjemné problémy
- jak to vůbec nakontaktovat (třeba via mají svůj odpor a indukčnost)
- ostatní vrstvy mají svojí kapacitu (větší, mají mnohem tenčí dielektrikum) k uvedené dvojici a tento vliv je potřeba eliminovat

...Jinak si třeba spočítej vážený průměr permitivit materiálů podle jejich zastoupení v desce a ten použij. Přesně to beztak nespočítáš...

Počítat to přes vážený průměr mě napadlo taky, ale ty výsledné vzorce vypadají jinak.
Kontronlní otázka soudruzí: Průměrná permitivita je přímo úměrná, nebo nepřímo úměrná tlouštce jednotlivých dielektrik?

[Cust]

Stejnak by to vedení chtělo zkusmo udělat v několika variacích a změřit si, který případ má nejmenší odrazy... Takže nejlépe si nechat na test vyrobit několik variací vedení včetně prokovů a kontaktování...

Pak když to necháš udělat u jiného výrobce, bude to jinak. A každopádně bych jim napsal, myslím, že výrobce by měl mít něco proměřeného, alespoň 50 Ω vedení...

[Lojza1]

Ano, vzorečky vypadají jinak.
Ta poslední otázka mi nedává věcný smysl. Tloušťce dielektrika je přímo úměrný objem materiálu ve váženém průměru, že. V sendvičovém uspořádání ale vážený průměr přesně nevypovídá o výsledné efektivní permitivitě.
Ono to s tou úměrností přece záleží na uspořádání v prostoru. Pokud je to skleněná rohož prosycená epoxidem, tak těžko říct. Spíš bych ji přiblížil ke kusům jednotlivých složek rozmístěným mezi stranami desky vedle sebe a počítal přes přímou úměrnost jako paralelně spojené kondenzátory. Ani ne tak protože by to bylo vždy jednoznačně správnější, ale protože v případě ne úplně rozdílných permitivit to vyjde podobně, je to skoro jedno, výpočet je rychlejší a ten sendvičový model má zjevnou slabinu. U sendvičového uspořádání by se to opravdu počítalo přes převrácené hodnoty. Pokud by byla permitivita skla obrovská a vzorečky by se proto hodně lišily ve výsledku, rohož by kroucením vláken mezi stěnami překlenula epoxid s malou permitivitou a ta by se reálně neprojevila tak dramaticky moc, jako v sendvičovém výpočtu. Ten druhý vzoreček s váženým průměrem by tak úplně ujetý být neměl. Pokud se permitivity přibližují, vzorečky k sobě ve výsledku určitě konvergují rychleji, než ty dosazené permitivity, a přibližují se proto oba rychle i k realitě, která je mezi nimi. U zdánlivě homogenní směsi to je zajímavá otázka. Záleželo by na tvaru zrn a poměru složek, kdyby to byl například systém zrn v pojivu. Například jestli se zrna s vysokou permitivitou dotýkají a nějak proplétají. Nepřipadá mi, že by na to byla nějaká jednoduchá univerzální odpověď. U dokonale promíchané směsi epoxidů by to směřovalo k novému materiálu a novými vlastnostmi. Je to celé podobné, jako když si někdo chce namíchat elektricky vodivý tmel.
U skelné rohože záleží na detailech.